中微幼教版（应该）：04 决策论（3） 显示偏好

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经济学教程

我们上次从偏好、价格和收入出发，尝试算出一个消费者最后会买什么。换句话说，是我给你偏好，你给我选择。

可是现实中的经济学家一般拿不到你的效用函数。你可以声称自己最喜欢喜之郎果冻，收银小票上却全是旺旺仙贝。比起一段真挚的自我陈述，实际做出的选择可能更可靠一些。今天我们把上次的问题反过来：我给你选择，你能不能还给我一套偏好？

从选择开始 ​

暂时忘掉预算线和消费者选择问题。假设小 L 先后遇到了一些可选择集，并且每次都从中挑出一个东西。我们把可选择集记作 AA，其中的选择记作 xx。

Definition 1 选择函数 Choice Function

对一系列非空的可选择集A\mathcal{A}，选择函数cc满足

c:A→X,c(A)∈A.c:\mathcal{A}\to X,\qquad c(A)\in A.

c(A)=xc(A)=x表示面对集合AA时选择了xx。一个人的许多次选择合在一起，就构成一份选择数据。

比如 c({x,y})=xc(\{x, y\})=x 只记录了一件很朴素的事情：xx 和 yy 同时出现时，小 L 拿走了 xx。如果我们假设小 L 没有无差异的情况，那么一个很自然的解释是 x≻yx\succ y。这里的≻\succ是严格偏好，我们在02中讲过这个内容。

经济学家想找的就是这样一套能解释所有记录的偏好：

Definition 2 理性化 Rationalization

如果对每个A∈AA\in\mathcal{A}，c(A)=xc(A)=x都意味着xx严格优于AA中其余的每个选项，那么偏好关系≻\succ理性化了选择函数cc。

这里的偏好暂时还不一定理性。我们真正关心的问题是：能不能找到一套完备且传递的偏好来理性化整份数据？选择是我们观察到的事实，偏好则是用来解释这些事实的理论。有些选择可以由理性偏好解释，有些不行。

选择把偏好显示出来 ​

假设小 L 面对 {x,y,z}\{x, y, z\} 时选择了 xx。既然 yy 和 zz 都在眼前，他仍然拿走了 xx，我们便有理由说 xx 优于另外两个选项。

Definition 3 直接显示偏好 Directly Revealed Preference

如果c(A)=xc(A)=x，并且y∈A∖{x}y\in A\setminus\{x\}，那么称xx直接显示偏好于yy，记作

xRDy.xR_Dy.

这个关系完全由选择数据生成，不需要先知道效用函数，也不保证背后一定存在理性偏好。如果xx和yy从来没有一起出现过，我们无法判断二者的直接显示偏好，但它们仍可能通过中间选项形成间接比较。

现在考虑两次选择：

c({x,y})=x,c({x,y,a})=y.c(\{x, y\})=x,\qquad c(\{x, y, a\})=y.

第一次告诉我们 xRDyxR_Dy，第二次又告诉我们 yRDxyR_Dx。如果一套严格偏好能解释它，那么我们会同时得到 x≻yx\succ y 和 y≻xy\succ x，小L你的脑袋怎么尖尖的。所以我们有了WARP：

Axiom 1 显示偏好弱公理 Weak Axiom of Revealed Preference

如果xRDyxR_Dy，那么不能有yRDxyR_Dx。后面简称为 WARP。

WARP 是选择数据的性质。数据违反它，就不可能来自理性偏好的最大化；数据通过它，只能说明这种最直接的两项冲突没有出现。

绕一圈也不能回到原点 ​

两项选择没有互相打脸，不代表三项选择放在一起仍然理性。看看下面这份数据：

c({x,y})=x,c({y,z})=y,c({x,z})=z.c(\{x, y\})=x,\qquad c(\{y, z\})=y,\qquad c(\{x, z\})=z.

它给出了xRDyxR_Dy、yRDzyR_Dz和zRDxzR_Dx。任意一对都没有反向的直接显示偏好，所以它通过了 WARP。可是如果背后的偏好是传递的，由x≻yx\succ y和y≻zy\succ z应该得到x≻zx\succ z，第三次选择却说z≻xz\succ x。

Definition 4 间接显示偏好 Indirectly Revealed Preference

如果存在一条由直接显示偏好连成的链

xRDz1, z1RDz2, ⋯ , znRDy,xR_Dz_1,\ z_1R_Dz_2,\ \cdots,\ z_nR_Dy,

那么称xx间接显示偏好于yy，记作xRIyxR_Iy。

上面的xRDyxR_Dy和yRDzyR_Dz让我们得到xRIzxR_Iz，但数据中又有zRDxzR_Dx。SARP 正是用来检查这类多步循环的。

Axiom 2 显示偏好强公理 Strong Axiom of Revealed Preference

如果xRDyxR_Dy或xRIyxR_Iy，那么反方向既不能有yRDxyR_Dx，也不能有yRIxyR_Ix。后面简称为 SARP。

留给你两个问题：

  1. 一份数据可以满足 WARP 但不满足 SARP 吗？
  2. 一份数据可以满足 SARP 却违反 WARP 吗？
你可以好好想想再看这个答案

一份数据可以满足 WARP 但不满足 SARP，上面的三项循环就是例子；它不能满足 SARP 却违反 WARP，因为两项直接循环本来就是 SARP 禁止的循环。

SARP 比 WARP 更强，但更强不代表 WARP 没有用。区别和我们观察了多少选择有关。

Theorem 1

如果数据穷尽了所有非空可选择集，那么它能被理性偏好理性化，当且仅当它满足 WARP。对于一般的、没有穷尽所有集合的数据，它能被理性偏好理性化，当且仅当它满足 SARP。

当所有集合都被观察过时，{x,y,z}\{x, y, z\} 这样的集合也一定在数据里。无论它最后选 xx、yy 还是 zz，上面的三项循环都会在这个大集合中暴露出一对直接冲突，WARP 已经足够。现实数据通常很有限，许多选项从未一起出现，较长的循环需要 SARP 才能发现。

还有一个容易误会的地方：通过 SARP 只说明至少存在一套理性偏好可以解释数据，并不保证我们已经唯一还原了这个人的内心。小 L 没买过的东西，经济学家也不能靠凝视小票把偏好瞪出来。

回到消费者选择问题 ​

现实中连完整的可选择集也不容易观察到，我们通常只有价格和购买束。好在消费者问题自带了一点补救办法。下面还要假设市场供应充足，否则一个东西没被买走，可能只是因为它恰好缺货。

假设价格为 p=(5,2)\boldsymbol{p}=(5, 2) 时，小 L 选择 x=(3,1)\boldsymbol{x}=(3, 1)。他的支出是

px=5×3+2×1=17.\boldsymbol{p}\boldsymbol{x}=5\times3+2\times1=17.

另一个消费束 y=(2,2)\boldsymbol{y}=(2, 2) 只需要花 14 刀。既然小 L 付得起 x\boldsymbol{x}，自然也付得起 y\boldsymbol{y}；他仍然选择 x\boldsymbol{x}，于是 xRDy\boldsymbol{x}R_D\boldsymbol{y}。

上次介绍的良性偏好在这里派上了用场。单调性意味着钱会花完，所以观察到x\boldsymbol{x}和p\boldsymbol{p}后，可以反推出收入m=pxm=\boldsymbol{p}\boldsymbol{x}和预算集

B(p,m)={z:pz≤m}.B(\boldsymbol{p},m)=\{\boldsymbol{z}:\boldsymbol{p}\boldsymbol{z}\leq m\}.

严格凸性则让最优消费束具有唯一性，避免同一个预算下今天选xx、明天选yy却都算最优。对第tt次观察到的价格与选择(pt,xt)(\boldsymbol{p}^t,\boldsymbol{x}^t)，只要另一条记录中的消费束xs\boldsymbol{x}^s与它不同，并且满足

xs≠xt,ptxs≤ptxt,\boldsymbol{x}^s\neq\boldsymbol{x}^t,\qquad \boldsymbol{p}^t\boldsymbol{x}^s\leq \boldsymbol{p}^t\boldsymbol{x}^t,

就有xtRDxs\boldsymbol{x}^tR_D\boldsymbol{x}^s。左边是在第tt组价格下购买别人的消费束需要多少钱，右边则是这次推出来的收入。

用支出矩阵找循环 ​

我们来看一份三次选择的数据。把每组价格放在行上、每个消费束放在列上，可以得到支出矩阵：

xx′x′′p464746p′394146p′′242223\begin{array}{c|ccc} & \boldsymbol{x} & \boldsymbol{x}' & \boldsymbol{x}'' \\ \hline \boldsymbol{p} & 46 & 47 & 46 \\ \boldsymbol{p}' & 39 & 41 & 46 \\ \boldsymbol{p}'' & 24 & 22 & 23 \end{array}

每行的对角线是当次实际支出，也就是推出来的收入。只要某个格子不大于同一行的对角线，那一列的消费束当时就买得起。

第一行告诉我们xRDx′′\boldsymbol{x}R_D\boldsymbol{x}''；第二行给出x′RDx\boldsymbol{x}'R_D\boldsymbol{x}；第三行给出x′′RDx′\boldsymbol{x}''R_D\boldsymbol{x}'。没有任何两个消费束直接互相指向，所以 WARP 没有意见，但三支箭头首尾相接，SARP 被违反了。

Theorem 2

对一份有限的价格与选择数据，令mt=ptxtm^t=\boldsymbol{p}^t\boldsymbol{x}^t。如果相同的价格和收入不会对应两个不同选择，那么以下三件事等价：

  1. 数据满足 SARP；
  2. 存在一套理性偏好，使每次观察到的xt\boldsymbol{x}^t都是相应预算集中的最优选择；
  3. 存在一个表示良性偏好的效用函数，使这些选择都能由消费者选择问题解出。

我们没有真的看见效用函数，却可以先用数据检查它有没有存在的可能。只要 SARP 失败，继续猜U=x1x2U=x_1x_2还是U=x1+x2U=x_1+x_2都没有意义，因为任何理性且良性的效用故事都解释不了这份记录。

一个不求效用函数的补贴问题 ​

这是一道附加题，涉及到一些数学内容。假设某位消费者现在会在商品 1 上花 100 刀，商品 1 对他而言是正常品。政府考虑两种补贴：计划 A 直接发 50 刀，计划 B 把商品 1 的价格补贴一半。他更喜欢哪一个？

你可以好好想想再看这个答案

原来的价格和收入记作 p1,p2,mp_1, p_2, m，原选择记作 x0\boldsymbol{x}^0。因为他在商品 1 上花了 100 刀，

x10=100p1.x_1^0=\frac{100}{p_1}.

两项计划的预算线分别是

计划 A：p1x1+p2x2=m+50,计划 B：p12x1+p2x2=m\begin{aligned} \text{计划 A：}\quad &p_1x_1+p_2x_2=m+50,\\ \text{计划 B：}\quad &\frac{p_1}{2}x_1+p_2x_2=m \end{aligned}

联立两条预算线，它们的交点z\boldsymbol{z}满足

z1=100p1=x10.z_1=\frac{100}{p_1}=x_1^0.

商品 1 是正常品，计划 A 增加收入后，最优选择中的商品 1 会比原来更多。把计划 A 的最优消费束记作xA\boldsymbol{x}^A，那么

x1A>x10=100p1.x_1^A>x_1^0=\frac{100}{p_1}.

由于xA\boldsymbol{x}^A恰好花完计划 A 的预算，它在计划 B 下的支出为

p12x1A+p2x2A=m+50−p12x1A<m.\frac{p_1}{2}x_1^A+p_2x_2^A =m+50-\frac{p_1}{2}x_1^A<m.

计划 A 选中的消费束在计划 B 下不但买得起，还会剩下一些钱。单调性保证把余钱花掉能让消费者更高兴，所以他严格偏好计划 B。

整个过程没有写出效用函数，也没有解一次 Lagrange。我们只用了原选择透露的信息、正常品的性质和两条预算线。这里比较的是消费者更喜欢哪个方案，政府最后各花多少钱则是另一个问题。

02 中我们把理性偏好和效用表示连了起来，03 中又从偏好推出消费者选择。这一次，显示偏好把观察到的选择反推回偏好，并让理性第一次变成了可以拿数据检查的东西。

当然，检查通过不等于读心成功。数据没有覆盖的比较仍然留白，无差异的情况也被我们暂时略去了。我们能说的是，这些选择像是某个理性消费者做出的，离找到他脑中唯一的效用函数还很远。决策论的这条线就暂时告一段落了，我们下次会进入到需求分析的部分，深入消费者自身真实的消费过程。

中微幼教版（应该）：03 决策论（2） 消费者选择理论