我们上次聊了聊经济学的基本问题与市场，我们今天先从“选择”出发，我们来看看我们的选择与偏好和我们追求的理性之间的关系。

决策论部分的数学关系会比较多，我尝试尽可能地将这些内容去数学化并直观讲解出来。

偏好关系 ​

每个人都有自己的偏好。你可能会比起电脑更喜欢手机，上次我们讲到小L比起香蕉更喜欢苹果，这些都是偏好。

为了方便研究偏好，我们可以先尝试定义一下偏好。想想偏好的存在需要一些什么东西，需要我们拥有选择的空间，需要我们自己有一些比较。

Definition 1.1 可选择集 Set of Alternatives
是所有选择的集合，一般记为$X$。如：

$$X = \{ apple, banana, orange\}$$

有了可选择集之后我们就可以思考选择之间的关系了，比如说苹果和香蕉我更喜欢苹果，香蕉和橘子我更喜欢橘子，所以我们可以如下定义二元关系：

Definition 1.2 二元关系 Binary Relation
是可选择集上的某两选择之间的偏好，记作$\succcurlyeq$。比如相比于香蕉更喜欢苹果可以写作：

$$apple \succcurlyeq banana$$

我们也称这个偏好关系为弱偏好 Weakly Preferred。

因此有了可选择集合二元关系之后我们就可以尝试刻画我们的偏好关系了。我们再把偏好关系明晰一下：

Definition 1.3 偏好关系 Preference Relation
我们把上面的这类二元关系称作偏好关系。偏好关系中我们可以基于弱偏好定义剩下两种偏好关系：

1. 无差异 Indifferent：当$x\succcurlyeq y$ 且$y\succcurlyeq x$时，称作无差异，记作$x\sim y$。
2. 严格偏好 Strict Preference：当$x\succcurlyeq y$且反过来不成立时，称作严格偏好，记作$x\succ y$。

我们来刻画一下小L和小D的偏好：

• 小L的偏好为：$x\succcurlyeq y,\quad z\succcurlyeq x, \quad z\succcurlyeq y$
• 小D的偏好为：$x\succcurlyeq y,\quad z\succcurlyeq x, \quad z\succcurlyeq y$

他们俩的偏好有谁对谁错吗？

这个时候我们欢迎小Y加入我们的演员名单中，我们先来看看他的偏好：

$$\succcurlyeq = \emptyset$$

也就是说，小Y对万事提不起兴趣，他觉得比起任何东西没有东西值得他更喜欢。我们思考两个问题：

• 他的偏好可能吗？
• 他的偏好理性吗？

偏好的存在就像这个世界上神人比比皆是一样，所以小Y的偏好显然是可能的。但是否是理性的是一件值得商榷的事情，因此我们需要引入一些性质来帮助我们判断理性的存在。

Definition 1.4.1 自反性 Reflective
如果对于任意的$x$，都存在$x\succcurlyeq x$，那么我们说该偏好具有自反性；
Definition 1.4.2 完备性 Complete
对所有的$x$和$y$，有$x\succcurlyeq y$或者$y\succcurlyeq x$或者都存在，那么我们说该偏好具有完备性。

自反性保证了我们的立场是坚定的，不会在面对同一个选项第二次的时候突发恶疾说：“我不喜欢现在这个，而是更喜欢刚才那个一模一样的”；而完备性则保证了所有的选择都是可比的，让我们能够有机会找到一个（或多个）全局最优解。我们会发现小Y的偏好既不具有自反性也不具有完备性。

小Y有个好朋友小C，小C的偏好也很有趣：

$$x\succcurlyeq y,\quad y\succcurlyeq z,\quad z\succ x$$

我们仍然思考这两个问题：

• 他的偏好可能吗？
• 他的偏好理性吗？

你会觉得这里面怪怪的，好像，似乎，对于一个稍微正常点的人，是不是不应该出现$z\succ x$的情况。因此我们引出了另一个性质的定义：

Definition 1.4.3 传递性 Transitive
如果由$x\succcurlyeq y$和$y\succcurlyeq z$可以得到$x\succcurlyeq z$，那么称该偏好具有传递性。

我们会发现小C的偏好不具有传递性。

似乎有了传递性之后我们就可以考虑真正理性的人是什么样子了。理性的人不会让底层的选择突然跨越阶级超过最高层自己某种情况下将最坏的选择翻身变为最好的选择，也应该对所有的选择都有一个评估和认知。

Definition 1.5 理性 Rationality
$\succcurlyeq$是理性的，当且仅当它具有完备性和传递性。

留给你一个问题：为什么我们在理性的定义里抛弃了自反性？

效用表示 ​

我们花了一些时间去定义和理解偏好与理性之间的关系，但是如果只是一个感性的，“我喜欢xx”的一个认知似乎还并不能为我们未来的研究保驾护航，所以我们更需要一个可以量化的模型来支撑我们的偏好，因此便自然地出现了效用和效用函数。

Theorem 1a
如果偏好是理性的，那么存在一个函数使得$x\succcurlyeq y$等价于$U(x) \geq U(y)$。

我们通过理性筛选出了像小L和小D这样的人，正是因为他们的效用可以用一个函数进行表示。

诶那老师老师，偏好不像小L和小D这样的人能有效用表示吗？

Theorem 1b
如果存在函数使得$x\succcurlyeq y$等价于$U(x) \geq U(y)$，那么该偏好是理性的。

偏好的理性是效用表示存在的充要条件。

效用函数的值与意义 ​

函数总该有个值，效用函数自然是不例外的。我们看看下列这些效用函数：

$$U = x_1+x_2$$

$$U = e^{x_1}e^{x_2}$$

$$U = \sqrt{\pi\ln(666+ x_1+x_2)}$$

你可以试着去画画这些函数的图像，然后回来告诉我一下这些函数的图像看起来像吗？

我可以告诉你，像。所以我们引申的问题是：这些效用函数表示的偏好一样吗？

我们将迎来我们今天最数学的一个定理：

Theorem 2
对于两个效用函数$U$和$V$，它们表示同一个偏好$\succcurlyeq$当且仅当$V$是$U$与增函数的复合函数，即$V=f(U)$，其中$f$为增函数。

因此我们对上面这个问题的答案是：一样。究其原因有以下两点：

1. 我们在讨论偏好的时候事实上只是在对偏好进行排序，我们并没有对量化地考虑哪个选择相对好多少；
2. 效用函数脱胎于偏好，它无法表示出比偏好更多的东西。

那效用函数的值呢？对于不同的效用函数，值的大小自然就没有意义；对于相同的效用函数，值的大小就可以代表偏好的优劣。

为什么要讨论一个偏好的不同表示？我们在将来讨论福利（Welfare）和边际效用（Marginal Utility）的时候还会再来深入这些东西。

今天的内容就到这里了，本来还应该有一部分关于凸偏好的内容，但是这对我们理解偏好和效用并无帮助，甚至徒增负担，所以我略去了。凸偏好在后续是比较重要的性质，我会在需要的时候提及相关的内容（毕竟我们不需要知道为什么）。本来还想给消费者问题开个头，但是这些内容确实已经不少了便作罢。谢谢你能读到这里，如果有任何意见或建议还烦请提出，我会努力改进。